今回の記事は2026年 京大理系数学 第1問です。(筆者が受験した問題)
普段は小問なので、試験時これを見て驚きました(笑)
理想解と自分が本番解いた2通りを掲載したいと思います。(本質的には同じ解答ですが)
本問は、一見複雑な分数関数と定数関数の共有点を扱う問題ですが、適切に変数を整理し、関数の増減を追えるかどうかが合否を分ける一題です。
解法①
\(y = f(x)\) と \(y = k\) から \(y\) を消去して，
\[
\frac{1}{x^2 \left(\log \frac{a}{x}\right)^2} = k
\]
このとき，\(k > 0\) となり，
\[
x^2 \left(\log a – \log x\right)^2 = \frac{1}{k}
\]
\(g(x) = x^2(\log a – \log x)^2\) とおき，\(y = g(x)\) と \(y = \dfrac{1}{k}\) のグラフの交有点がちょうど2個存在するような条件を考える．
\[
g'(x) = 2x(\log a – \log x)^2 + x^2 \cdot 2(\log a – \log x) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)
\]
\[
= 2x \log \frac{a}{x} \left(\log \frac{a}{x} – 1\right)
\]
ここで，\(0 < x < 1\)，\(a > 1\) より，
\[
2x \log \frac{a}{x} > 0
\]
であり，
\[
\log \frac{a}{x} – 1 = 0 \iff x = \frac{a}{e}
\]
(i) \(a \geq e\) のとき，
\(\dfrac{a}{e} \geq 1\) より，\(0 < x < 1\) において，
\[
g'(x) > 0
\]
であるから，\(g(x)\) は単調増加．
したがって，\(y = g(x)\) と \(y = \dfrac{1}{k}\) のグラフの交有点が2個となることはなく不適．
(ii) \(1 < a < e\) のとき，
\(0 < \dfrac{a}{e} < 1\) より，\(0 < x < 1\) における \(g(x)\) の増減は次のようになる．
\[
\begin{array}{c|ccccc}
x & (0) & \cdots & \dfrac{a}{e} & \cdots & (1) \\
\hline
g'(x) & & + & 0 & – & \\
\hline
g(x) & & \nearrow & \dfrac{a^2}{e^2} & \searrow & \left((\log a)^2\right)
\end{array}
\]
また，
\[
\lim_{x \to +0} g(x) = \lim_{x \to +0} (x \log a – x \log x)^2 = 0
\]
したがって，\(y = g(x)\) のグラフは次のようになる.
（極大値 \(\dfrac{a^2}{e^2}\)，\(x=1\) での値 \((\log a)^2\)，\(x \to +0\) で \(0\)）
以上より，満たすべき条件は，
\[
(\log a)^2 < \frac{1}{k} < \frac{a^2}{e^2}
\]
\(k > 0\) より，
\[
\frac{e^2}{a^2} < k < \frac{1}{(\log a)^2}
\]
よって，(i), (ii) より，\(a\), \(k\) の満たす条件は，
\[
1 < a < e \quad \text{かつ} \quad \frac{e^2}{a^2} < k < \frac{1}{(\log a)^2} \quad \cdots \text{①}
\]
であり，\(1 < a < e\) において，
\[
k = \frac{e^2}{a^2}, \quad k = \frac{1}{(\log a)^2}
\]
はともに単調減少であることより，\(①\)を図示すると，下図の斜線部分（境界を含まない）
解法②
\(f(x) = \dfrac{1}{x^2\left(\log \dfrac{a}{x}\right)^2}\) \( (0 < x < 1,\ a > 1) \) より，
\[
f'(x) = \frac{-2}{\left(x\left(\log \dfrac{a}{x}\right)\right)^3} \cdot \left(\log\frac{a}{x} + \frac{x^2}{a} \cdot – \frac{a}{x^2}\right)
\]
\[
= \frac{2}{\left(x\log\dfrac{a}{x}\right)^3}\left(1 – \log\frac{a}{x}\right)
\]
したがって \(f'(x) = 0 \iff \dfrac{a}{x} = e\) つまり \(x = \dfrac{a}{e}\)
(i) \(1 < a < e\) のとき
\(f(x)\) の増減は下図
\[
\begin{array}{c|ccccc}
x & (0) & \cdots & \dfrac{a}{e} & \cdots & (1) \\
\hline
f'(x) & & – & 0 & + & \\
\hline
f(x) & (+\infty) & \searrow & \left(\dfrac{e}{a}\right)^2 & \nearrow & \left(\dfrac{1}{\log a}\right)^2
\end{array}
\]
\[
\lim_{x \to +0} x\log x = 0 \quad \text{より} \quad
\lim_{x \to +0} (-x\log x) = \lim_{x \to +0} x\log\frac{1}{x} = 0
\]
(\(a\) は定数より \(\displaystyle\lim_{x \to +0} x\log\frac{a}{x} = +0\)
\((\because \log\dfrac{a}{x} \xrightarrow{x\to +0} +\infty)\)
(ii) \(a \geq e\) のとき
\(f(x)\) は \(0 < x < 1\) において単調減少する．
このとき \(y = k\) と \(y = f(x)\) が共有点をちょうど2つもつことはなく不適．
\(\therefore\) (i) のみを考え，\(y = f(x)\) のグラフは下図．
このとき \(y = f(x)\) と \(y = k\) がちょうど2つ交点をもつとき条件は
\[
\left(\frac{e}{a}\right)^2 < k < \left(\frac{1}{\log a}\right)^2
\]
以下解法①と同様にする.
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