2026年京大理系数学第2問

今回の記事は前回に引き続き2026年京大理系数学第2問です。

「点Pが辺OA上のどこにあっても共有点をもたない」という条件を、「（点Pと辺BC上の点Qの距離の最小値）\( > r\) または（点Pと辺BC上の点Qの距離の最大値）\(<r\)」と言い換えられるかどうかが勝負の分かれ目です。計算量自体は多くありませんが、論理の組み立てに正確さが求められます。

幾何問題としての定石は

図形条件の確認
ベクトル、複素数
実数平面
幾何

がありますが、今回はベクトル(おまけで実数平面)で解いてみたいと思います。

解法①

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}\) をそれぞれ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) とおく。
辺 \(\mathrm{BC}\) 上に点 \(\mathrm{Q}\) をとると、\(0\leqq s,t\leqq 1\) を満たす \(s,t\) を用いて

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& t\vec{a} \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& s\vec{b}+(1-s)\vec{c} \\
\end{eqnarray}と書ける.

よって, \begin{eqnarray}
& &
\left| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right|^2 \\[5pt]
&=&
\left| t\vec{a}-s\vec{b}-(1-s)\vec{c} \right|^2 \\[5pt]
\\[5pt]
\end{eqnarray}となる.

\(\mathrm{OABC}\)は1辺の長さが1の正四面体なので, \(\lvert \vec{a} \rvert=\lvert \vec{b} \rvert=\lvert \vec{c} \rvert=1\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\dfrac{1}{2}\)となる.

したがって\begin{eqnarray}
& &
\left| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right|^2 \\[5pt]
&=&
t^2+s^2+(1-s)^2 \\
& & -st-t(1-s)+s(1-s) \\[5pt]
&=&
t^2+s^2+1-2s+s^2 \\
& & -st-t+st+s-s^2 \\[5pt]
&=&
t^2-t+s^2-s+1 \\[5pt]
&=&
\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\left(s-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる.

このとき, \(s,t\) は \(0\leqq s,t\leqq 1\)を動くので\(\dfrac{1}{2}\leqq \left| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right|^2\leqq 1\) ,すなわち\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq \left| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right|\leqq 1\)なので, \(r\) が\(0\lt r\lt\dfrac{\sqrt{2}}{2}, r\gt 1\)のとき,点 \(P,Q\) をどのようにとっても距離が \(r\) になることはない.

\(\therefore\)球面と辺 \(BC\) とは共有点をもたないことがわかる.

よって求める範囲は, \(0\lt r\lt\dfrac{\sqrt{2}}{2}, r\gt 1\)

解法②

正四面体 \(\mathrm{OABC}\) の 1 辺の長さは \(1\) である.

向かい合う辺 \(\mathrm{OA}\) と \(\mathrm{BC}\) がそれぞれ \(z\) 軸および \(xy\) 平面に平行な直線上にくるよう,以下のように座標を定める。\[\mathrm{O}(0, 0, 0), \mathrm{A}(0, 0, 1), \mathrm{B}\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), \mathrm{C}\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)\]

辺OA上の点Pを\(\mathrm{P}(t, 0, 0)\) \( (0\le t\le1)\)とします.

BC方向の単位ベクトルは\(\vec{BC} = C – B = \left(0,\ -\frac{\sqrt{3}}{3},\ \frac{\sqrt{6}}{3}\right)\)

この大きさは \(\sqrt{0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 1\) なので,これがそのまま単位ベクトル \(\vec{u}\).

また, \(\vec{BP} = P – B = \left(t-\frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)\)である.

辺 \(\mathrm{BC}\) 上の任意の点 \(\mathrm{Q}\) を、実数 \(s \in [0, 1]\) を用いて次のように表す.
\[ \mathrm{Q} = (1-s)\mathrm{B} + s\mathrm{C} \]

点 \(\mathrm{P}\) から直線 \(\mathrm{BC}\) への距離 \(d(t)\) は、外積の大きさとして求められる.
\[ \overrightarrow{\mathrm{BP}} \times \vec{u} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{(t – \frac{1}{2})\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, -\frac{t – \frac{1}{2}}{\sqrt{3}}\right) \]
\[ |\overrightarrow{\mathrm{BP}} \times \vec{u}|^2 = \frac{1}{2} + \left(t – \frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} + \left(t – \frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \left(t – \frac{1}{2}\right)^2 \]
よって、\(d(t) = \sqrt{\frac{1}{2} + \left(t – \frac{1}{2}\right)^2}\) である.

ここで,\(\overrightarrow{\mathrm{BP}}\) の \(\vec{u}\) 方向への射影成分は,
\[ \overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \vec{u} = \frac{1}{2} \]
である.これは,点 \(\mathrm{P}\) から直線 \(\mathrm{BC}\) に下ろした垂線の足が,常に辺 \(\mathrm{BC}\) の中点（\(s = 1/2\) の点）であることを示している.
したがって,\(0 \le s \le 1\) の範囲において,点 \(\mathrm{P}\) と辺 \(\mathrm{BC}\) 上の点 \(\mathrm{Q}\) との距離の最小値は \(d(t)\) に一致する.

球面 \(S\) と辺 \(\mathrm{BC}\) が共有点をもたない条件は,任意の \(\mathrm{P}\)（すべての \(t\)）に対し,辺 \(\mathrm{BC}\) 上の任意の点 \(\mathrm{Q}\) について \(\mathrm{PQ} \neq r\) が成り立つことである.これは,半径 \(r\) が \(\mathrm{PQ}\) のとり得る値の範囲に入らないことと同値である.

\(0 \le s \le 1, 0 \le t \le 1\) における \(\mathrm{PQ}^2\) の値域を \(U\) とすると,三平方の定理より,点 \(\mathrm{P}\) から直線 \(\mathrm{BC}\) に下ろした垂線の足を点 \(\mathrm{H}\)とすると \(\mathrm{PQ}^2=\mathrm{PH}^2+ \mathrm{HQ}^2=\mathrm{HQ}^2+(d(t))^2\)

\(\therefore\) \(\mathrm{PQ}^2 = (t-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} + 0 – \frac{1}{4} + (s-\frac{1}{2})^2\)

・最小値：\(t = \frac{1}{2}, s = \frac{1}{2}\) のとき \(\frac{1}{2}\)

・最大値：\(t = 0, s = 0\) など端点のとき \(1\)

よって \(\mathrm{PQ}^2\) のとり得る範囲は \(\left[\frac{1}{2}, 1\right]\) である.共有点をもたないためには,
\[ r^2 < \frac{1}{2} \quad \text{または} \quad r^2 > 1 \]
\(r > 0\) より,
\[ 0 < r < \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad r > 1 \]